Come si calcola l’apotema

Quando nei problemi di geometria compare un poligono regolare o una figura solida come una piramide o un cono, uno dei calcoli che più spesso viene chiesto di svolgere su di esso è quello dell’apotema. Ma vediamo nel dettaglio che cos’è l’apotema e quale formula deve essere utilizzata per misurarlo.

Che cos’è l’apotema

Quando si parla di apotema si intende il raggio della circonferenza inscritta in un poligono. Attenzione però, l’apotema di un poligono regolare è differente dall’apotema di un solido. 

Per non creare confusione, partiamo esaminando l’apotema del poligono regolare. Osserviamo la figura che segue. 

In questa immagine abbiamo rispettivamente un quadrato, un esagono e un pentagono e all’interno di ciascuno di essi abbiamo disegnato la circonferenza iscritta, ossia la circonferenza che ha come centro il centro del poligono e come raggio la distanza dal centro del lato del poligono.
In tutti i casi, il raggio della circonferenza inscritta è l’apotema, indicato con la lettera “a”.

Proprietà dell’apotema

Di seguito elenchiamo le proprietà dell’apotema di un poligono regolare. Esse sono 4 in totale e possono essere riassunte in questo modo:

1. Dato un qualsiasi poligono regolare avente un numero di lati superiore a 3, è possibile dividere il poligono in un numero x di triangoli isosceli uguali unendo il centro del poligono con tutti i suoi vertici. L’altezza dei triangoli coinciderà con l’apotema del poligono.
2. L’apotema coincide con il segmento che va dal centro del poligono con la sua proiezione ortogonale, su qualsiasi lato dello stesso.
3. L’apotema tocca il lato del poligono nel suo punto medio
4. Il rapporto tra l’apotema e il lato di un qualsiasi poligono regolare è costante e dipende solo dal numero dei lati del poligono

Formula dell’apotema

Riprendendo la proprietà numero 4, essendo il rapporto tra l’apotema di un poligono regolare e uno qualsiasi dei suoi lati costante e dipendente solo dal numero dei lati del poligono, in ognuno di questi lati l’apotema ha un numero fisso. Quindi, per calcolare l’apotema andremo ad applicare la seguente formula:

dove:

• “a” rappresenta l’apotema
• “f” rappresenta il numero fisso
• “l” rappresenta il lato del poligono regolare

Di seguito riportiamo una tabella che schematizza il numero fisso e i lati di ogni poligono regolare

Apotema e solidi

Come abbiamo accennato nella parte introduttiva, l’apotema non riguarda solo i poligoni regolari, ma lo troviamo anche in certe figure solide e, nello specifico:

• la piramide
• il cono

Nella piramide troviamo due tipi di apotema:

1. apotema propriamente detto: corrisponde a un segmento perpendicolare condotto dal vertice della piramide a uno spigolo di base. Conoscere l’apotema propriamente detto ci permette di calcolare l’altezza e l’area laterale del solido.
2. apotema di base: è il raggio della circonferenza iscrivibile nel poligono di base. Conoscere questo apotema ci permette di calcolare l’altezza del solido.

Per quanto riguarda il cono invece, l’apotema è differente. essendo questa figura geometrica frutto della rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno a un suo cateto, l’apotema del cono corrisponde all’ipotenusa del triangolo rettangolo.