La derivata (o derivata prima) di una funzione in un punto è definita come limite del rapporto incrementale della funzione nel punto al tendere dell’incremento a zero.
Le derivate fondamentali rappresentano le derivate delle funzioni elementari. Sapere come si calcolano le derivate delle funzioni elementari è molto importante perché ci permette di trovare la derivata di qualsiasi funzione. In questo articolo elencheremo le formule delle derivate elementari.
Formule delle derivate fondamentali
La derivata di una funzione costante
La derivata di una funzione costante f (x) = k è uguale a zero:
f’ (x) = 0
La derivata descrive la variazione di una funzione. Se la funzione è una costante, cioè ha variazione nulla, di conseguenza ha derivata nulla.
La derivata di una funzione lineare
La derivata di una funzione lineare f (x) = x equivale a:
f’(x) = 1
La derivata di una funzione potenza
La derivata di una funzione potenza f(x) = xn , dove n rappresenta un qualsiasi numero intero o razionale (ovvero una frazione) è:
f’ (x) = n ∙ x (n – 1 )
La derivata di funzione radice
La funzione f (x) = √x è una radice della variabile x, che può essere trasformata in una potenza di x che ha per esponente la frazione 1 / n. A questo punto per calcolare la derivata di una radice basta applicare la formula della derivata di una potenza:
f’ (x) = n ∙ x (n-1)
La derivata delle funzione seno
La derivata della funzione seno f (x) = sin x è il coseno:
f’ (x) = cos x
La derivata della funzione coseno
La derivata della funzione coseno f(x) = cos x è l’opposto del seno:
f’ (x) = – sin x
La derivata della funzione tangente
La derivata della funzione tangente f (x) = tan x equivale al reciproco del quadrato del coseno di x :
f’ (x) = 1 / cos2 x
La derivata della funzione cotangente
La derivata della funzione cotangente f (x) = cot x è uguale all’opposto del reciproco del seno di x al quadrato:
f’ (x) = – 1 / sin2 (x)
La derivata della funzione esponenziale
La derivata della funzione esponenziale f (x) = ax è :
f’ (x) = ax ln (a)
Dove In (a) indica il logaritmo naturale di a.
Se la base è il numero di Nepero e, la funzione esponenziale f (x) = ex ha derivata uguale a se stessa:
f’(x) = ex
La derivata della funzione logaritmica
La derivata di una funzione logaritmica in base a di x, f (x) = log (a) è uguale al reciproco del prodotto tra x e il logaritmo naturale di a:
(x) = 1/x log (a)
Se la base è il numero di Nepero e, la derivata del logaritmo naturale è l’inverso dell’argomento, dato che per definizione il logaritmo di e è uguale a 1:
f’ (x) = 1/x
La derivata del valore assoluto
La derivata del valore assoluto di x, f (x ) =|x| è uguale al rapporto tra il valore assoluto e x:
f’(x) = |x| / x
Casi in cui si calcolano la derivate fondamentali di una funzione:
Calcolare le derivate è importante in diversi campi del sapere:
- In geometria, ovvero per trovare l’inclinazione della retta tangente in un punto di una curva,
- In fisica per calcolare l’accelerazione istantanea di un corpo,
- In economia per studiare il prodotto marginale di una funzione di produzione,
- In statistica per calcolare il tasso di crescita demografico di una popolazione.