Il massimo comune divisore, indicato con il simbolo MCD di due o più numeri rappresenta il più grande tra i divisori comuni dei numeri indicati. Si calcola attraverso il metodo della scomposizione in fattori primi.
Calcolare il massimo comune divisore
Calcolare il massimo comune divisore dei numeri 10 e 15.
Per risolvere il problema, dobbiamo prima trovare i divisori di 10:
Il 10 è divisibile per = 1, 2, 5, 10
Poi trovare i divisori di 15:
Il 15 è divisibile per = 1, 3, 5, 15
Ora dobbiamo trovare i divisori comuni ai numeri dati:
Divisori comuni di 10 e 15 = 1, 5
Dalla lista dei divisori comuni prenderemo in considerazione il numero più grande, ovvero 5, che rappresenta il massimo comune divisore tra 10 e 15:
MCD (10, 15) = 5
Quando i numeri sono più grandi risulta difficile elencare tutti i divisori, perciò è opportuno scomporre i numeri dati in fattori primi, cioè in numeri primi. Vengono definiti numeri primi i numeri maggiori di 1 divisibili solamente per 1 e per se stessi ( ad esempio 2, 3, 5, 7, 11…).
Facciamo un esempio più difficile:
Trovare il massimo comune divisore di 420 e 1386.
Dobbiamo scomporre innanzitutto questi due numeri in fattori primi:
420│2 1386│2
210│2 693│3
105│3 231│3
35│5 77│7
7│7 11│11
Essendo allora:
420 = 22∙ 3 ∙ 5 ∙ 7
1386 = 2 ∙ 32 ∙ 7 ∙ 11
Dobbiamo trovare i numeri primi comuni a 420 e 1386, prendendo in considerazione solo quelli con esponente più basso, che sono 2, 3 e 7.
Per trovare il massimo comune divisore non ci resta che moltiplicare 2, 3 e 7:
MCD (420, 1386) = 2 ∙ 3 ∙ 7 = 42
Esempio di calcolo del massimo comune divisore e delle frazioni
Calcolare il massimo comune divisore è utile soprattutto per ridurre una frazione ai minimi termini.
Se abbiamo una frazione come ad esempio 24/36, il massimo comune divisore tra numeratore e denominatore è:
MCD (24, 36) = 12
Per ridurre ai minimi termini la frazione, basta dividere il massimo comune divisore (12) per il numeratore e il denominatore della frazione:
24/36 = 2/3
Differenza tra massimo comune divisore e minimo comune multiplo
Il minimo comune multiplo di due o più numeri, indicato con il simbolo MCM, è differente dal massimo comune divisore e rappresenta il multiplo più piccolo dei numeri considerati. In altre parole il minimo comune multiplo è il più piccolo numero divisibile per ciascuno di tali numeri.
Casi in cui è importante calcolare il massimo comune divisore
Il calcolo del massimo comune divisore può essere utile:
- Per ridurre ai minimi termini le frazioni