Le proporzioni sono relazioni che coinvolgono quattro valori numerici e possono essere rappresentate come segue:
a : b = c : d
In questo articolo ti spiegheremo come calcolare le proporzioni, qual è il significato e come si svolgono i problemi e gli esercizi di matematica che le contengono.
Che cos’è la proporzione
Una proporzione rappresenta una relazione di uguaglianza tra due rapporti (divisioni).
Dati quattro numeri o grandezze a, b, c , d, dobbiamo sapere che in una proporzione il rapporto tra a e b, è uguale a quello tra c e d.
Formula per calcolare la proporzione
Questa relazione quaternaria, come abbiamo visto prima, può essere anche rappresentata così:
a / b = c / d
E si legge: “a sta a b come c sta a d “; proprio per indicare che le due coppie di numeri hanno lo stesso rapporto tra loro.
Considerando la formula di sopra a e d sono detti “estremi” della proporzione, proprio perché si trovano alle estremità della proporzione, mentre b e c “medi” in quanto stanno vicino all’uguale.
Esempio di proporzioni matematiche
Ammettiamo che a = 200, b = 100, c =20, d = 10
Ecco come si calcola una proporzione matematica:
200 : 100 = 20 : 10
La relazione di uguaglianza tra le grandezze a, b, c, d è soddisfatta perché il rapporto tra a e b è uguale a quello esistente tra c e d:
200 : 100 = 2 e 20 : 10 = 2
Proprietà delle proporzioni aritmetiche
Le proporzioni sono caratterizzate dalle seguenti proprietà:
Prodotto
Viene chiamata anche proprietà fondamentale e prevede che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:
b ⋅ c = a ⋅ d
Inversione
La proprietà di inversione dice che se invertiamo i medi con gli estremi la proporzione non cambia:
b : a = d : c
Permutazione degli estremi
La permutazione degli estremi asserisce che, scambiando tra loro i due estremi, la proporzione è sempre valida:
d : b = c : a
Permutazione dei medi
La proprietà di permutazione dei medi afferma che scambiando tra loro i medi, la proporzione non cambia:
a : c = b : d
Proprietà del comporre
La proprietà del comporre stabilisce che in una proporzione:
- la somma tra i primi due termini sta al primo, come la somma tra gli altri due sta al terzo:
(a + b) : a = (c + d) : c
- la somma tra i primi due termini sta al primo, come la somma tra gli altri due sta al quarto:
(a + b) : b = (c + d) : d
Proprietà dello scomporre
La proprietà dello scomporre dice che in una proporzione, dove a > b:
- la differenza tra i primi due termini sta al primo, come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo:
(a – b) : a = (c – d) : c
- la differenza tra i primi due termini sta al secondo, come la differenza tra il terzo e il quarto sta al quarto:
(a – b) : b = (c – b) : d
Proprietà del comporre e scomporre
La proprietà del comporre e dello scomporre dice che in una proporzione, dove a > b, la somma del primo e del secondo termine sta alla loro differenza, come la somma tra il terzo e il quarto termine sta alla loro differenza:
(a + b) : (a – b) = (c + d) : (c – d)
Come si calcola una proporzione con un’incognita?
Supponiamo di dover risolvere un esercizio in cui dobbiamo determinare il valore di un’incognita 𝓍, legata in una proporzione alle grandezze a, b, e c :
a : 𝓍 = b : c
Per calcolare 𝓍 basta ricorrere alla proprietà del prodotto, per cui il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi:
a ⋅ c = 𝓍 ⋅ b
A questo punto per risolvere 𝓍 non resta che dividere entrambi i prodotti per b:
(𝓍 ⋅ b) / b = (a ⋅ c)/ b
E infine ricavare il valore dell’incognita:
𝓍 = (a ⋅ c) / b
Un altro esempio pratico per risolvere le proporzioni
Prendiamo un tipico esercizio da scuola media per calcolare le proporzioni.
Per acquistare 20 pezzi di un prodotto Maria e Luigi hanno speso 80 euro, quanto spenderanno per comprarne 35?
Per risolvere il problema occorre eseguire la seguente proporzione:
80 : 20 = c : 35
Dove l’incognita c rappresenta il prezzo per acquistare 35 unità del prodotto.
Data la proprietà fondamentale delle proporzione, sappiamo che:
c ⋅ 20 = 35 ⋅ 80
E quindi, per trovare il valore di c basta eseguire questi calcoli:
c = (35 ⋅ 80) / 20 = 140 euro
In quali casi vengono calcolate le proporzioni
Nella vita quotidiana puoi avere la necessità di calcolare le proporzioni in diversi casi, ad esempio:
- quando devi preparare una ricetta e vuoi modificare la quantità degli ingredienti. Può infatti capitare che, durante la preparazione di un dolce, ti accorgi di non avere la quantità necessaria di farina. Per esempio sai che la ricetta dei muffin al cacao prevede 265 grammi di farina ma tu ne hai solo 225. Se lo zucchero necessario è 135 grammi, l’equazione da risolvere sarà la seguente: 225 grammi di farina stanno a 265 grammi di farina come 𝓍 grammi di zucchero stanno a 135 grammi di zucchero (225 : 265 = 𝓍 : 135)
- quando devi ridimensionare un’immagine. Per esempio hai una fotografia di dimensioni 1600 x 900 pixel e vuoi ridurre la larghezza da 1600 a 1200 pixel, e allo stesso tempo diminure la lunghezza, in modo che sia mantenuto l’aspetto originale della foto.. A questo punto devi calcolare questa proporzione: 1600 pixel sta a 900 pixel come 1200 pixel sta a 𝓍 (1600: 900 = 1200: 𝓍)